我要收養老公與外遇對象的小孩要怎麼辦理？老公已認領小孩生母也放棄扶養權這樣收養還需要生母同意或出庭嗎

扶養義務、受扶養權、親權的概念

扶養義務、受扶養權
提問中寫到「扶養權」，但其實這並不是法律上的用語。
法律上，我們會說A對B有「扶養義務」，那B就有「受扶養權」。扶養義務是指有經濟能力的人，對於不能用自己財產維持日常生活的親屬，有提供經濟協助的義務。法律明文規定的特定關係，才會有扶養義務，像是：父母子女之間、兄弟姊妹之間^[1]、夫妻之間^[2]。
特別留意，父母對於未成年子女的扶養義務，不會因為父母離婚而受影響^[3]，父母還是有扶養義務。

親權
親權是指父母對未成年子女保護、教養的權利、義務^[4]，包含扶養、管教、懲戒、財產管理等。例如：選擇私立雙語幼稚園或公立幼稚園、選擇開放或嚴格的教養方式、做錯事如何處罰、幫孩子保管壓歲錢。 
一般而言，夫妻離婚時，可以約定親權由一方或雙方共同行使^[5]。本題所說的應該是「生母放棄行使親權」，而不是「放棄扶養權」，而生母對未成年子女的扶養義務仍存在。 

回到本題
收養會停止養子女與生父生母的親子關係，因此法律規定收養他人子女，要經過子女生父生母的同意^[6]。
依照民法第1076條之1 規定^[7]，假設C、D是夫妻，丈夫（生父）C認領跟外遇對象（生母）E生下的孩子F，雖然外遇對象E放棄對未成年孩子F的親權，妻子D要收養孩子F時仍然要經過生母E的同意。
依法規定，生母E的同意有兩種方式：書面並且經公證、法院認可程序中，以言詞向法院表示同意並且記在筆錄中^[8]。本題中，妻子D收養小孩F需要取得生母E經書面同意，並拿去辦理公證；或是請生母E出庭當場向法院表達同意。

例外情況是，如果生母有毆打、虐待或其它不利於孩子的行為，或是生母因為生病臥床無法表達意見，這兩種情況不需要經過生母同意，而是交由法院來決定是否能收養。

順帶一提，如果妻子D想收養孩子F的事情經過生母E同意，並經法院裁定認可^[9]，那麼生母E與孩子F間的權利義務關係會停止^[10]，生母E對孩子F就沒有扶養義務。