提問人的問題已涉及具體個案，以下僅略說明租約、定金等租屋相關的法律知識。
房仲是房東的代理人
如果房東委託房仲業者協助處理房屋出租，原則上房仲就是房東的代理人，如同房東的分身，所以房客與房仲討論租約的內容、也口頭同意租約，效力會直接發生在房東和房客之間[1]，即使房東本人從頭到尾都沒出面也不影響。但提醒房客在簽約前記得確認租約上的出租人是房東，以及要確認房仲的委託書、證件等[2]。
定金能不能退，要看不能租屋的原因
即使沒有「簽約」——還沒簽書面的契約，只要雙方都同意房屋租賃這件事，契約就會成立了[3]，也就是提問人理解的，口頭承諾租約就已經成立了。
既然租約已經成立，雙方就要依約履行：房東要提供房屋、房客要付租金。如果房客突然反悔不想租了，例如房客後來發現別間房屋更理想，不想租這間，這是房客的問題，房東沒有錯，這時候房東就可以依法主張要沒收定金全部。反過來說，如果是房東的錯，例如房東把房子租給別人無法租給付定金的房客，此時房客不但可以要求房東退定金，還可以要房東多賠一倍[4]。
既然租約已經成立，雙方就要依約履行：房東要提供房屋、房客要付租金。如果房客突然反悔不想租了，例如房客後來發現別間房屋更理想，不想租這間，這是房客的問題，房東沒有錯，這時候房東就可以依法主張要沒收定金全部。反過來說，如果是房東的錯，例如房東把房子租給別人無法租給付定金的房客，此時房客不但可以要求房東退定金，還可以要房東多賠一倍[4]。
附帶一提，雖然房仲與房客的對話是用「訂金」而不是民法條文的「定金」，收據上又混用了「定金」，但探究雙方付定的目的、用途，如果是為了促使雙方來簽約，沒簽約的房客定金就會被沒收，或食言的房東定金要加倍賠給房客；那雙方當初的意思，應該就跟法律上「定金」的意思相同，不需要（法院也不會）糾結於用字[5]。
民法有規定房東要將把符合約定使用的房屋交給房客、並維持房屋的可使用性[6]；但當房屋有瑕疵，而且瑕疵已經大到危害承租人和他的同居人的安全或健康時，承租人才可以終止契約[7]，例如租到了輻射屋、海砂屋等。至於20幾年屋齡的房子在市場上應該不算罕見，是否算是瑕疵？即使算瑕疵，是否已經危害到房客的安全或健康？房客能否依照這個理由主張終止租約，恐怕有疑義。
以上僅簡略說明相關法律知識，具體個案的解析及進一步的法律意見，建議提問人備妥相關資料，諮詢律師等專業法律人士。
延伸閱讀：
法律百科（2021），《租屋族必備 租房須知錦囊包｜簽約篇》。